Лекция 11. Модель можно крутить мышкой или пальцем. Кнопки применяют вращения и отражения, справа видно, какая перестановка получилась.
Идея. У куба 4 главные диагонали (на модели они цветные). Любое вращение куба переводит диагонали в диагонали, то есть переставляет 4 цветных отрезка. Так получается гомоморфизм $\varphi\colon \mathrm{Sym}_+(K)\to S_4$.
Диагонали: d₁ = AC′, d₂ = BD′, d₃ = CA′, d₄ = DB′. Нижняя грань — $ABCD$, верхняя — $A'B'C'D'$, штрих над буквой означает «вершина над ней».
Почему изоморфизм. В обеих группах по 24 элемента (почему в группе вращений 24, см. вкладку 2). Значит, достаточно показать, что $\varphi$ сюръективен: тогда он биекция.
Ключевой пример из лекции. Пусть $K$ — середина ребра $AA'$, $L$ — середина ребра $CC'$. Вращение $\xi$ на $\pi$ вокруг прямой $KL$ (на модели кнопка «ξ: 180° вокруг KL», ось рисуется серым) переставляет вершины так:
$\xi(A)=A',\ \xi(A')=A,\ \xi(C)=C',\ \xi(C')=C,\ \xi(B)=D',\ \xi(D')=B,\ \xi(B')=D,\ \xi(D)=B'.$
Посмотри на цвета: диагонали $AC'$ и $A'C$ меняются местами, а $BD'$ и $B'D$ остаются на месте. То есть образ $\xi$ в $S_4$ — транспозиция $(1\,3)$. Точно так же через другие рёбра получаются все 6 транспозиций, а транспозиции порождают $S_4$. Значит, $\varphi$ сюръективен, а потому изоморфизм.
Что попробовать: нажми «ξ» дважды, куб вернётся на место (транспозиция в квадрате даёт тождество). Нажми «грань 90°» четыре раза. Нажми «диагональ 120°» и посмотри, как красная диагональ остаётся на месте, а три другие идут по циклу.
Формула орбит. Если конечная группа $G$ действует на множестве, то для любой точки $x$ выполнено $|G| = |Gx|\cdot|\mathrm{St}(x)|$: размер группы равен размеру орбиты, умноженному на размер стабилизатора.
Шаг 1. Орбита вершины A. Вращениями вокруг осей через центры граней вершину $A$ можно перевести в любую из 8 вершин. Поэтому $|Gx| = 8$ и $|\mathrm{Sym}_+(K)| = 8\cdot|\mathrm{St}(A)|$. На модели вершина $A$ выделена, нажимай «грань 90°» и смотри, куда она уходит: кнопка «показать орбиту A» отметит все 8 достигнутых положений.
Шаг 2. Стабилизатор $H=\mathrm{St}(A)$. Это вращения, которые оставляют $A$ на месте. Такие вращения обязаны переставлять трёх соседей $A$: вершины $B$, $D$, $A'$ (на модели подсвечены). Вращения на $120^\circ$ и $240^\circ$ вокруг диагонали $AC'$ переводят $B$ в $D$ и в $A'$, поэтому орбита $B$ под действием $H$ состоит из 3 точек: $|H| = 3\cdot|\mathrm{St}_H(B)|$.
Шаг 3. Стабилизатор B внутри H. Пусть $\psi$ оставляет на месте и $A$, и $B$. Тогда $\psi$ либо оставляет $D$ и $A'$ на месте, либо меняет их местами. Но второй вариант — это отражение, оно меняет ориентацию, а у нас только вращения. Значит, $\psi$ оставляет на месте 4 точки $A, B, D, A'$, не лежащие в одной плоскости, то есть $\psi = \mathrm{id}$, и $|\mathrm{St}_H(B)| = 1$.
$|\mathrm{Sym}_+(K)| = 8\cdot|\mathrm{St}(A)| = 8\cdot 3\cdot|\mathrm{St}_H(B)| = 8\cdot 3\cdot 1 = 24.$
Счётчик справа показывает, сколько различных положений куба ты уже получил кнопками. Больше 24 не будет.
Важно. Здесь группа симметрий — это все движения пространства, сохраняющие тетраэдр, включая отражения относительно плоскостей, а не только вращения.
У тетраэдра 4 вершины, и каждая симметрия их переставляет. Получаем гомоморфизм из группы симметрий в $S_4$.
Инъективность. Если движение оставляет все 4 вершины на месте, то оно фиксирует 4 точки, не лежащие в одной плоскости, а такое движение — тождественное. Ядро тривиально.
Сюръективность. Возьмём плоскость через ребро тетраэдра и середину противоположного ребра (на модели она рисуется розовой). Отражение в ней меняет местами ровно две вершины, то есть даёт транспозицию. Транспозиции порождают $S_4$, поэтому гомоморфизм сюръективен. Биекция, значит изоморфизм.
Тетраэдр нарисован внутри куба: его вершины — это 4 вершины куба $A$, $C$, $B'$, $D'$, никакие две из которых не соединены ребром куба. Кнопка «(1 2)» — отражение в плоскости через вершины 3, 4 и середину ребра 12: вершины 3 и 4 лежат в зеркале и стоят на месте, а 1 и 2 меняются местами. На анимации тетраэдр как бы проходит сквозь зеркало. Вращение на 120° вокруг вершины — это уже чётная перестановка, 3-цикл.